基本概念

正形投影：两条交线间角度保持不变，同时在每一点的放大倍数相等

标准纬度：映像面上的距离与地球上的距离精确等同的维度

放大倍数：映像面上距离与地球相应距离的无量纲比值。标准纬度处 $M=1$，地面在映像之上时，$M<1$，地面在映像之下时 $M>1$，

常见地图投影：墨卡托投影（Mercator projection）、兰伯特投影（Lambert projection）、极射赤平投影（Stereographic projection）

正形投影的基本关系

试图想象一个圆锥投影的剖面图形，即为一个包含半圆的三角形；再想象一个圆锥投影展开形成的映像平面，机位圆锥的展开面。

有以下定义：

令$l=AB$为映像面上的右上割点$B$与圆锥顶点$A$的间距，即为映像面上的经圈长度；令$\phi$为纬度，$\theta$ 为余纬，真实地球面上为 $\Lambda s$，映像平面的经度为 $\Lambda$。 纬度$\phi$处真实纬圈长度为 $L_s$；投影纬圈长度为 $L$，$a$ 为地球半径，映像圆锥展开的平面角为 $2\pi k$，则地球纬度 $\phi$ 处纬圈长度为：

$$\begin{aligned} L_s & = 2\pi R = 2\pi a\cos\phi \\ & = 2\pi a\sin(\pi-\phi) = 2\pi a\sin\theta \end{aligned}$$

而映射平面纬度 $\phi$ 处纬圈长度为：

$$L_s = 2\pi kl$$

根据放大倍数 $M$ 的定义有：

$$M = L/L_s = \frac{2\pi kl}{2\pi \cos\phi} = \frac{kl}{a\cos\phi} = \frac{kl}{a\sin\theta}$$

当兰伯特投影位于标准纬度时，放大倍数为 1。代入上式：

$$1 = \frac{kl_0}{a\sin\theta_0}$$

$$l_0 = \frac{a\sin\phi_0}{k}$$

由正形投影的定义，经向放大率等于纬向放大率：

$$dL = mdL_s = mad\theta = \frac{klad\theta}{a\sin\theta} = kl\frac{d\theta}{\sin\theta}$$

对上式积分，其中：

$$\int\frac{d\theta}{\sin\theta} = \int\frac{1}{\sin \theta}d\theta = \int\frac{\sin\theta }{\sin^2\theta }d\theta = \int\frac{\sin\theta }{1-\cos^2\theta }d\theta $$

令$ t=\cos\theta $

$$\frac{dt}{d\theta } = -\sin\theta \to \sin\theta d\theta = -dt $$ $$\begin{aligned} \int\frac{\sin \theta}{1-\cos^2 \theta}d\theta & = \int\frac{-dt}{1-t^2} \\ & = \int\frac{-dt}{(1-t)(1+t)} \\ & = \int-\frac{1}{2}\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}dt \\ & = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}dt \\ & = -\frac{1}{2}\int{-log|1-t|+log|1+t|}+C \\ & = -\frac{1}{2}log|\frac{1+t}{1-t}| \\ & = \frac{1}{2}log|\frac{1-t}{1+t}| \\ & = \frac{1}{2}log(\frac{1-\cos\theta }{1+\cos \theta )} +C \\ & = \frac{1}{2}log(\frac{\sin^2\frac{\theta }{2}}{\cos^2\frac{\theta }{2}}) +C \\ & = \frac{1}{2}log(\tan^2\frac{\theta }{2}) +C \\ & = log|tan\frac{\theta }{2}|+C \end{aligned}$$

代入原始积分，有：

$$\begin{aligned} \ln L & = k(\ln\tan\frac{\theta}{2} +C) = \ln\tan(\frac{\theta}{2})^k +Ck \\ L & = c(\tan\frac{\theta}{2})^k \end{aligned}$$

将 $\lambda = k\lambda s$，$\theta = \theta_0$，$L = L_0$，$L_0 = \frac{a}{k}\sin\theta_0$ 代入上式，有 A 式：

$$m = \frac{a}{k}\frac{\sin\theta_0}{\sin\theta}(\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{\tan\frac{\theta_0}{2}})^k $$

兰伯特投影（Lambert projection）

定性：正形投影

标准纬线位置：$30^\circ N 60^\circ S$

特点：兰伯特投影在圆锥角 $180^\circ$ 和 $0^\circ$ 时的极限情形即为极射赤平投影与墨卡托投影。

方法：使用定点在北极点正上方的圆锥与地球相割，割点为 $30^\circ N 60^\circ S$，圆锥平面位于赤道平面（？）

取标准纬度在 $\phi_1 = 60^\circ, \phi_2 = 30^\circ$ 代入 A 式。

$$\theta_1 = 30^\circ, \theta_2 = 60^\circ$$ $$M = \frac{a}{k}\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta}(\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{\tan\frac{\theta_1}{2}})^k = \frac{a}{k}\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta}(\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{\tan\frac{\theta_2}{2}})^k$$

故有：

$$\frac{a}{k}\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = (\frac{\tan\frac{\theta_1}{2}}{\tan\frac{\theta_2}{2}})^k $$ $$ k = \frac{\ln\sin\theta_1 - \ln\sin\theta_2}{\ln\tan\frac{\theta_1}{2}-\ln\tan\frac{\theta_2}{2}}$$

代入数据可求得

$$k \approx 0.7156 , \lambda \approx 0.7156\lambda s$$

极射赤平投影（Stereographic projection）

标准纬度位置 $60^\circ N$

日常使用的北半球图形式。

方法：使用一平面于 $60^\circ N$ 截取地球。

此时 $ k=1 , \theta_0 = 30^\circ$，利用 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

$$M = \frac{a}{k}\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta}(\frac{\tan\frac{\theta}{2}}{\tan\frac{\theta_1}{2}}) = \frac{1+\cos\theta_0}{1+\cos\theta} = \frac{2+\sqrt{3}}{2(1+\sin\phi)}$$

同时，$\lambda = \lambda s$

墨卡托投影（Mercator projection）

标准纬线位置：$22.5^\circ N 22.5^\circ S$

定性：正形投影

特点：标准纬圈附近为等距。

方法：使用上通北极，下通南极的圆柱与地球相割，割点位于 $22.5^\circ N 22.5^\circ S$，圆柱上下平面分别与南北极平行

麦卡托投影相当于圆锥角为 $0^\circ$，因此：

$$ m =\frac{sin\phi_0}{\sin\phi} = \frac{\cos\phi_0}{\cos\phi}$$

资料处理与客观分析

资料的基本要求：可靠、便于使用

气象资料的问题：测站分布不规则、资料易出错

资料问题的处理方法：

数据记录出错 - 通过上限和下限、时空连续性进行判断

缺测漏测 - 平滑方法

  • 实測风矢量的分解： 将实际风分解为东西和南北两个矢量

  • 风场订正：将网格点上的 u、v 分量风订正到正方形网格的 x、y 轴上

对于基线以东网格，有（基线以西符号相反）：

$$x’ = u\cos\alpha+v\cos(90^\circ-\alpha) = u\cos\alpha+v\sin\alpha$$

$$y’ = v\cos\alpha-u\cos(90^\circ-\alpha) = v\cos\alpha-u\sin\alpha$$

平滑与滤波

一维平滑算子（三点平滑算子）

$$\begin{aligned} \bar f_j & = f_j + \frac{S}{2}(f_{j+1}+f_{j-1}-2f_j) \\ & = (1-S)f_j+\frac{S}{2}(f_{j+1}+f_{j-1}) \end{aligned}$$

展开为傅立叶级数：（通过欧拉公式变换）

$$f_j(x) = C+Ae^{ik(x_j-\delta)}$$

其中 $C$ 为常数，$A$ 为振幅、$K=L/2\pi$为波数，$L$ 为波长，$\delta$ 为位相。合并 $f,f_{j+1},f_{j-1}$ 有：

$$\begin{aligned} \bar f_j(x) & = C+(1-S)Ae^{ik(x_j-\delta)} \\ & + \frac{S}{2}Ae^{ik(x_j-\delta)}(e^{ik\delta x}+e^{-ik\delta x}) \\ & = C +A[1-S(1-\cos k\delta x)]e^{ik\delta x} \end{aligned}$$

平滑后的振幅为：

$$\bar A = A[1-S(1-\cos k\delta x)]$$

其中响应函数 $R = -\bar A/A$

  1. $R =1$ 平滑后波幅不变
  2. $R <1$ 平滑后波幅减弱
  3. $R >1$ 平滑后波幅放大
$$R(k,s) = \frac{\bar A}{A} =1-S(1-\cos k\delta x)$$ $$R(L,S) = 1-2S*\sin^2(\pi\delta \frac{x}{L})$$

一般实践中要求 $R ~ (0,1)$ 故有 $S ~ (0,\frac{1}{2})$。取最大平滑系数时有：

$$R(L,\frac{1}{2}) = 1-sin^2(\frac{\pi\delta x}{L}) = cos^2(\frac{\pi\delta x}{L})$$

图像特征： 对于网格距离较短的波平滑效果较好，2 个格点的波动可以完全平滑。同时可以保留长距离长波（略有削弱）。从而起到滤波的作用。

对于多次平滑：

$$R_{1-n}(k,S) = \prod_{I=1}^n[1-S_i(1-\cos (k\delta x))]$$

$$R_{1-n}(k,L) = \prod_{I=1}^n[1-2S_i(1-\sin^2 (k\delta x))]$$

二维平滑算子：

（五点平滑）

$$\bar f_{i,j}^{ij} = \frac{1}{2}(\bar f_{i,j}^{i} + \bar f_{i,j}^{j}) = f_{i,j}+\frac{S}{4} \nabla^2f_{I,j}$$

其中：

$$\nabla^2 f_{I,j} = f_{I+1,j} + f_{i-1,j} + f_{i,j+1} - f_{i,j-1} - 4f_{i,j}$$

（九点平滑）

$$\bar f_{i,j}^{ij} = \bar{\bar{f_{i,j}^i}^j} = f_{i,j} + \frac{S}{2}(1-S)\nabla^2 f_{i,j} + \frac{S^2}{4}\nabla^2_* f_{i,j}$$

其中：

$$\nabla^2_* f_{I,j} = f_{I+1,j+1} + f_{i-1,j-1} + f_{i-1,j+1} - f_{I-1,j-1} - 4f_{i,j}$$

对应的响应函数为：

$$\begin{aligned} R_5 & = \frac{1}{2}[R_x + R_y ] \\ & = 1-S[\sin^2(\pi\delta X/L_x)+\sin^2(k_y\delta Y/2)] \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} R_9 & = R_x * R_y \\ & = [1-2S\sin^2(\pi\delta X/L_x)] + [1-2S\sin^2(\pi\delta Y/L_y)] \end{aligned}$$